sabotage

落車しました。

 

身体は大丈夫です。最小限の怪我です。

 

ああ、自転車が…。貯金使い果たしていたので、修理はちょっと時間がかかりそうです。半ニートには辛い出費だよ。これは…。

リアディレーラー?とフロントブレーキ?が駄目そう。フレームは当然無事よ。そうじゃなかったら…。

 

 

まぁ、でも、更新がご無沙汰なのはショックを受けたからではなく、代わり映えのない毎日にネタが切れてしまっただけです。

不定期でいいですよね。週一くらいで…。

 

 

さて、今日は無理数の話。ただし、中三くらいの文系脳ですが、すみませんね。

 

 

うん。先日の話。

ある中学の教材に√2や√3やπが無理数だと記載されており、その一方で、“以下より無理数を選べ”という練習問題には√15という数字がありました。

 

当然、√15は無理数。選ぶのが正解です。

 

ん…?ちょっと待てよと。

√15は無理数なの…?証明もせずに…?確かに√2や√3が無理数であるとは明記されてるけど、√15はどこにも載ってないよね…?

何を根拠に選べばいいんだ!勘か?勘なのか?そんなことが許されるわけがないだろ!

 

と私は憤慨したのです。

 

仮説を立てました。

無理数 × 無理数無理数になる?

 

反証…√2 × √2 = 2

 

バカジャネーノ

せめて√2が無理数であることの証明くらいはないと駄目だろ!

 

ということで、かの有名な背理法による証明。

√2 = b/aであると仮定する(aとbは互いに素な正数)。

両辺を二乗。

2 = b^2/a^2

2a^2 = b^2

ここでb^2は偶数なので、bは必ず偶数になる。

ゆえにb = 2nとする(nは正数)。

代入して。

2a^2 = 4n^2

a^2 = 2n^2

ここでa^2は偶数なので、aは必ず偶数になる。

ゆえにa = 2mとする(mは正数)。

 

したがって、b/a = 2n/2m = n/m であるから

b/aはn/mに約分できる。

しかし、これはaとbは互いに素であることに矛盾する。

ゆえに√2は無理数

 

この操作を続けていって、無限に約分できないから“√2は無理数”でもいけるけどね。

 

 

…(´・ω・`)

√3は?√15は?

 

…派生しましょう。

2a^2 = b^2

この時点でおかしいんだよね。

右辺が平方数なんだから、左辺には素因数の要素が偶数個ずつ含まれていないといけない。つまり、a^2の素因数には2が奇数個含まれていないと等式が成り立たない。でも、a^2は平方数、素因数の要素は偶数個含まれていることになる。

ゆえに、ーー矛盾。

 

これだと、√n(nは1および平方数ではない自然数)について言えるから安心!

 

ってことで√15は無理数!これで安心して練習問題に取り組めるはず!

 

 

 

 

 

 

πは何なのさ?

えぇ…。ま、また次回に…。