何のために。~有限と無限~

この前の続きです。

循環小数の“研究”ですね。

 

研究なんて仰々しい。単なる遊びです。

しかし、数学とは凄いもので“無限”ですら、この手のひらの内で扱えてしまう。

科目で言えば、数学ⅡBまでしか学習していない私ですが、最近“等比級数”を知りました。

無限が有限にーー。

 

前回、算数の二大巨頭なんてことを言いました。

もちろん、自然数なども重大なテーマに成り得ますが、それでも算数では、分数と円周率は無限と隣合わせの要素です。

円周率は言わずもがな、分数は前回と今回で考えている循環小数、どちらも無限小数です。小学校では四捨五入していますが、それでも本当の姿を見てみたい。

 

数学は楽しいので、私にとっては遊びです。

けれど、その根本には“知りたい”という欲求があります。

 

ひとたび美しいモノを見つけてしまうともう抜け出せません。

 

~~~

 

まず考えるべきなのは、循環小数の一般化です。

小数の位が無限に続くので数列の考え方が使えそうです。

 

とりあえず 0 < b/a < 1 の範囲で考えたいと思います。

 

循環小数 b/a ( 0 < b < a 、 a , b は自然数 ) の小数第n位を αn とする。』

 

b/a = α1*10^(-1) + α2*10^(-2) + α3*10^(-3) + … + αn*10^(-n) + …

 

ーー循環する事を考慮します。

 

『初めの循環が小数第p位から小数第q位だとする。』

 

b/a = α1*10^(-1) + … + α(p-1)*10^{-(p-1)} + αp*10^(-p) + … + αq*10^(-q) + α(q+1)*10^{-(q+1)} + …

 

ーーややこしいですね。

でも分かります。循環するんだから、小数第p位と小数第q+1位には同じ値が入るはずです。小数第q+1位と小数第-p+2q+2位も同様ですね。

まとめます。初めの部分は和Σを使った方が良さそうですね。

 

b/a = Σ αk*10^(-k) (p-1,k=1) + αp*[ 10^(-p) + 10^{-(q+1)} + 10^{-(-p+2q+2) } + … ] + α(p+1)*[ 10^{-(p+1)} + 10^{-(q+2)} + 10^{-(-p+2q+3) } + … ] + …

 

ーー休憩。

αp の係数は初項 10^(-p) 公比 10^(p-q-1) の等比数列の無限和になっていますね。次のα(p+1) の係数も初項 10^{-(p+1)} 公比 10^(p-q-1) の等比数列の無限和になりそうです。

 

b/a =  Σ αk*10^(-k) (p-1,k=1) + αp* Σ 10^(-p)*10^k(p-q-1) (∞,k=0) + α(p+1)* Σ 10^{-(p+1)}*10^k(p-q-1) (∞,k=0) + …

 

ーーまだ簡単に出来そうですね。

 

b/a =  Σ αk*10^(-k) (p-1,k=1) + Σ α(p+j)*[ Σ 10^{-(p+j)}*10^k(p-q-1) (∞,k=0) ] (-p+q,k=0)

 

ーーまとめ終わりました。無限和になっているのは等比数列の部分だけですね。

p < q なので p-q-1 < 0 ゆえに 10^(p-q-1) < 1

したがって、等比級数の和の形にできますね。

当然、気がかりは無限和の順序を変えていることだけですが。

 

考えましょう。

この無限和は小数の各位にかけられている循環小数を表しています。

 

例えば、 1/7 = 0.142857142857… では

1*0.100000100000… +

4*0.010000010000… +

2*0.001000001000… +

8*0.000100000100… +

5*0.000010000010… +

6*0.000001000001… 

となっているはずです。なんか2進数みたいですね。

 

先ほどの等比数列の公比はこの1の現れる頻度を表しているので、おそらく等比級数の和の形が通用するはずです。

 

b/a = Σ αk*10^(-k) (p-1,k=1) + Σ [α(p+k)*10^{-(p+k)}]/{1-10^(p-q-1)} (-p+q,k=0)

 

有限和に出来ました。

これが、0 < b/a < 1 のときの循環小数の一般形です。

数列 αn が分かりませんが、恒等式なので計算が合ってさえいれば、右辺は最終的に b/a になりそうですね。

 

また、先ほどの例示が本質を表していますね。循環小数は、小数部分の各桁の数と0と1からなる循環小数との積の和になっているんですね。

 

とにかく、次はどちらに進みましょうか。

 

見えている課題は、

b/a が循環小数になる自然数 a , b の条件ーー。

αn の一般項ーー(こんなの求められるんでしょうか)。

という所ですね。

 

では次回。